1.3 勾股定理的应用（同步讲义）（含答案析）（八年级数学上册同步练习（北师大版））.docx

1.3 教材中重点突出勾股定理的应用【典型实例分析】类型1、勾股定理及其反定理的应用【典型实例1】如图所示，在等腰直角△ABC中，∠ ACB=90°，E、F是AB上的两点（E左，F右），∠ECF=45°， 证明：。 【提示】由于∠ACB=90°，∠ECF=45°，所以∠ACE+∠BCF=45°。如果∠ACE和∠BCF组合起来，就是特殊的45°角，所以我想到了△ACE旋转到△BCF的右外侧并合并，或者△BCF绕C点旋转到左外侧△ACE 并合并。旋转后的BF边与AE边形成直角，这可以联系毕达哥拉斯定理来证明。 【分析】解决方案：（1）原因如下：将△BCF绕C点旋转得到△ACF′，使△BCF的BC边和AC边重合，即△ACF′≌△BCF，∵In △ABC，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAF′=∠B=45°，∴ ∠EAF′=90°． ∵∠ECF＝45°，∴∠ACE＋∠BCF＝45°． ∵∠ACF′=∠BCF，∴∠ECF′=45°。在△ECF和△ECF′中，∴△ECF≌△ECF′(SAS)，∴EF=EF′。在Rt△AEF′中，∴ 。 【总结】如果一个角包含同一个顶点的半角（例如直角包含直角，90°角包含45°角，120°角包含60°角），旋转方法常用于将剩余部分拼接在一起形成另一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识来解决问题。 【变形例1-1】 已知在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，证明： 。

【答案】解：绕D点顺时针旋转△ABD 60°，由于DC=AD，所以A点到C点，B点到E点并连接BE。 ∵BD＝DE，∠BDE＝60°∴△BDE为等边三角形，BE＝BD。容易证明 △DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB∵ 在四边形 ADCB 中，∠ADC＝60°，∠ABC =30°∴ ∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝ 270°∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴∴ 【典型例2】如图所示，在△ABC中，∠ACB=90° ，AC=BC，P为△ABC中的一点，PB=1，PC=2，PA=3。求 ∠BPC 的度。 【分析】解：如图，令∠ECB=∠PCA，又令CE=CP，连接EP，EB在△APC和△BEC中，∴△APC≌△BEC∴△PCE是等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8且∵PB2=1， BE2=9∴PE2+ PB2= BE2 则∠BPE=90°∴∠BPC=135° 【总结】本题考查毕达哥拉斯定理的逆定理。通过观察所需的角度，制作辅助线，将PA、PB、PC的长度换算为一。三角形有三条边。构造直角三角形是解决问题的关键。当然，这个问题也可以用旋转的思想来解决，即绕C点旋转△APC，使CA和CB重合，即△APC≌△BEC。

2型毕达哥拉斯定理与逆定理的综合应用【典型例3】如图所示，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD= 13、求四边形ABCD面积。 [说明] 连接交流电。在直角三角形ABC中，使用AB和BC的长度并使用毕达哥拉斯定理求出AC的长度。然后利用AD和CD的长度并利用毕达哥拉斯定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形。 ，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积。 【分析】解：接AC，如图：∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，且∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理：AC2=25， ∵CD=12，AD=13，∴AD2=132=169，CD2+AC2= 122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB?BC+AC？ CD =×3×4+×5×12=36．因此，四边形ABCD的面积为36。 【摘要】本题考查勾股定理及其逆定理。熟练掌握勾股定理及其逆定理是解决本题的关键。 【典型例4】如图：在正方形ABCD中，E为DC的中点，F为EC的中点。验证：∠BAF=2∠EAD。

【分析】证明：取BC的中点G，连接AG并延长与DC交于H∵的直线 ∠ABG=∠HCG，BG=CG，∠AGB=∠HGC∴ △GAB≌△HCG∴ ∠GAB=∠H , AB=CH 且 ∵ AB=AD, ∠B=∠D, BG=DE∴ △ABG≌△ADE∴ ∠GAB=∠DAE 中，假设由毕达哥拉斯定理： ∴ AF=HF∴ ∠FAH=∠H∴ ∠FAH=∠DAE∴ ∠BAF=2∠DAE 【总结】证明∠BAF=2∠EAD，一般方法是取∠BAF中的一个角，使其等于∠EAD，然后证明另一个角也等于∠EAD。另一种方法是将较小的角度加倍，看看它是否等于较大的角度。 【变形例4-1】如图所示，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5，周长为36cm。 P点从A点开始，以每秒1厘米的速度沿边缘移动到B点。速度移动； Q点从B点沿BC边以每秒2cm的速度移动到C点。如果同时开始，3秒后△BPQ的面积是多少？ 【答案】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，可得x=3，∴AB=9cm ，BC=12cm，AC=1·5cm，∵AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为直角三角形，3秒后，BP=9-3×1=6（厘米），BQ=2×3=6（厘米）开元ky888棋牌官网版，∴S△PBQ= BP?BQ=×（9﹣3） ）×6=18（cm2）．因此，3秒后，△BPQ的面积为18cm2。第三类毕达哥拉斯定理实际应用【典型例5】如图，一个牧童在A处放牛，他的家在B处。A、B到河岸的距离为AC=400米，BD =分别为200米。 CD=800米，牧童将牛从A点带到河边喝水，然后回家。喝水最短的距离在哪里？最短距离是多少？ 【说明】在A点和直线CD之间作对称点G，连接GB，与CD相交于E点。利用“两点间最短线段”，可知E处应该喝水，然后根据对称性，我们可以知道GB的长度就是步行方向。最短距离，然后构造一个直角三角形，可以利用毕达哥拉斯定理来求解。 【分析】解：作一个关于A点关于直线CD对称的点G，并将GB和CD连接到E点。由“两点之间的最短线段”可知，该点喝水E 将采取最短距离。解释如下：在直线CD上选取与E点不同的任意一点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE。 ∵ 点G、A 关于直线CD 对称，∴ AI=GI，AE=GE。由“两点之间的最短线段”或“三角形的两条边之和大于第三条边”可以得到GI+BI>GB=AE+BE，从而得到证明。最短距离就是GB的长度。从 B 点画到 CD 的垂线。从 G 点到 BD 的垂线交于 H 点。在直角三角形 GHB 中，∵ GH=CD=800，BH=BD+DH=BD+GC=BD+AC =200+400=600，∴由毕达哥拉斯定理得到。 ∴GB=1000，即最短距离为1000米。 【摘要】这是一道典型的关于极值的题。解决这类问题，一方面要考虑“两点之间最短的线段”；另一方面要考虑“两点之间的最短线段”。另一方面，为了证明最优值，我们经常选择另一个数量，并通过将其与正在证明的“最大”或“最小”数量进行比较来证明它。比如这个问题中的I点。这道题反映了勾股定理在现实生活中的应用。 【变形例5-1】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE=3，EB=1，AC上有一点P，使得EP+BP最短。求 EP+BP 的最小值。 【答】解：根据正方形的对称性：BP=DP，连接DE，AC交于P，ED=EP+DP=EP+BP，即EP+BP的最短距离为ED。 ∵ AE＝3, EB＝1, ∴ AB＝AE＋EB＝4, ∴ AD＝4，根据毕达哥拉斯定理： ． ∵ED＞0，∴ED＝5，∴最短距离EP＋BP＝5。 【典型事例6】 台风是一种自然灾害。以台风中心为中心，在周围数十公里范围内形成气旋风暴，破坏力极大。如图所示，台风中心位于台湾海峡B处，距沿海城市福州A正南240公里，中心风力为12级。距台风中心每25公里，台风就会减弱一级，如图所示，台风中心正以每小时20公里的速度向东北30°方向C方向移动，风力台风中心保持不变。如果该市风力达到或超过4级，则称受到台风影响。请问：（1）本市会受到台风的影响吗？请解释原因。 （2）如果受到台风影响，台风影响该市多久？ （3）本市受台风影响的最大风力是多少？ 【分析】解决方案：（1）本市将受到台风影响。原因：如图所示，如果AD⊥BC经过A点画在D点，那么AD就是城市到台风中心的最短距离。在Rt△ABD中，因∠B=30°，AB=240。 ∴AD==×240=120（公里）。从问题中可以看出，如果距离台风中心的距离在（12-4）×25=200（公里）以内，就会受到台风的影响。因为120<200，城市就会受到影响。 （2）根据问题（1）可知，当A点距离台风中心不超过200公里时，就会受到台风的影响，所以BC上AE=AF=200；当台风中心从E点移动到F点时，该城市将处于台风的影响范围内。 （如图）根据毕达哥拉斯定理，DE=160（公里）。所以EF=2×160=320（公里）。另据了解，台风中心移动速度为20公里/小时。因此，台风影响全市320÷20=16（小时）。 (3)∵AD距离台风中心最近，∴本次台风全市最大风力为：12-(120÷25)=7。

2（等级）．答：本市受台风影响最大风力7.2级。 【总结】本题是将一个实际问题转化为一个直角三角形的数学问题。可以通过制作辅助线来构造直角三角形，然后将条件和问题转化为直角三角形，并利用毕达哥拉斯定理来解决问题。 【跟踪培训】1． （数学文化）中国古书《算术九章》里有一个关于“引蚩米到岸”的问题：“今有一池宽一尺，蚩米长在中央。如何将奇亚引到岸边开元ky888棋牌官方版，并与岸边齐平。 “总的想法是：有一个一英尺的水池。 正方形。水池中央长着一株芦苇状的植物，高出水面一尺。如果你把它带到岸边，它会刚好与岸边齐平（如图所示）。水有多深？ ，植物有多长？其中，一英尺为十英尺，假设水深为英尺，则方程可写为 ( ) ABCD 【答案】D 【分析】利用毕达哥拉斯定理建立方程。 【详细解释】解法：如图，由题意：尺子，尺子，尺子，尺子，，则，由毕达哥拉斯定理，得：，即故选：D。 【亮点】 ] 本题考察毕达哥拉斯定理和单变量线性方程的表述。熟练掌握勾股定理是解决问题的关键。 2、学习毕达哥拉斯定理后，老师布置的课后作业是“用一根绳子（绳子足够长）和卷尺测量学校教学楼的高度”。某数学兴趣小组做了以下事情：①将绳子的上端固定在教学楼的顶部。将绳子自由悬挂，然后垂直拉出至距教学楼底部3m处，将绳子系在绳子与地面的交汇处； ②继续将绳子拉出，使打结点与教学楼的距离为6m。此时，测量绳结与地面的距离。的高度为1m，则学校教学楼的高度为()A.11mB。 13 摄氏度。 14 mD． 15 m 【答案】C【分析】根据题意画图。假设学校教学楼的高度为，我们可以得到，，，可以利用毕达哥拉斯定理得到。 【详细解说】解：如图，假设学校教学楼的高度为，那么，，，左图，根据毕达哥拉斯定理，绳子长度的平方，右图，根据毕达哥拉斯定理，绳子长度的平方，∴，解：。因此选择：C。 【寻找点】本题考察勾股定理的应用。回答这个问题的关键是构造一个直角三角形。构造直角三角形的一般方法是画一条垂直线。 3、如图所示，有两棵树，一棵8米高，另一棵2米高。两棵树相距8米。一只鸟从一棵树顶飞到另一棵树顶。至少（）米。 ABCD 【答案】D【分析】根据“两点之间最短线段”可知，小鸟沿着两棵树的树顶直线飞行，所走的距离最短。两点之间的距离可以使用毕达哥拉斯定理计算。查出。 【详细解释】解：两棵树的高度差为 ，距离为 。根据毕达哥拉斯定理，我们可以得到：鸟的最短飞行距离。因此选：D。 【寻找点】本题主要考察勾股定理的应用。解决问题的关键是建立现实生活问题的数学模型并运用数学知识来解决。 4、如图所示，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选取 、 、 三个点， 、 、 、 四个点在同一直线上，并已测得， ，，则池塘的宽度 ( ) ABCD 【答案】C 【分析】根据已知条件，在直角三角形 ABC 中，利用勾股定理求 AC 的长度，并减去 AD 和 CE从AC找到DE。 【详解】解：在Rt△ABC中，AC===80m，故DE=AC?AD?EC=80?20?10=50m，故选：C。 【发现点】本题考察了勾股定理并将数学知识与实际生活联系起来。是近年来中考的重点之一。 5、如图所示，一艘船从A港出发，以12节的速度向东北航行，另一艘船同时从A港出发，以5节的速度向东南航行。两船相隔（离港后2小时）（ ）A。 13海里B. 16海里 C. 20海里 D. 26海里 【答案】D 【分析】根据方位角，可以看出两船的方向恰好形成直角。那么根据距离=速度×时间，两船分别行驶了24海里和10海里。然后根据毕达哥拉斯定理就可以求出两艘船之间的距离。 【详细解释】解：∵两船分别向东北和东南方向行驶，∴∠BAC=90°，两小时后，两船共行驶了12×2=24（海里），5×2=10 （海里），根据毕达哥拉斯定理：（海里），故选：D。 6、如图所示，一根垂直于地面的旗杆被撕裂并在距地面5m的B点处断裂。旗杆顶部落在距离旗杆底部12m的A点处。则旗杆折断部分AB的高度为( ) A. 5mB。 12mC． 13mD。 18m 【答案】C 【分析】直接用勾股定理即可求得。 【详细解释】从题意来看：故选：C。 【寻找点】本题考察勾股定理的应用。掌握勾股定理是解决问题的关键。 【亮点】本题考查的是勾股定理的应用开yun体育官网入口登录app，利用勾股定理进行计算的基础知识比较简单。 7、如图所示，一根垂直的木杆离地4米处折断。木杆顶部落在距木杆底部3米处的地面上。木杆折断前的高度